電感（Inductance）是閉合回路的一種屬性，即當(dāng)通過閉合回路的電流改變時(shí)，會(huì)出現(xiàn)電動(dòng)勢來抵抗電流的改變。如果這種現(xiàn)象出現(xiàn)在自身回路中，那么這種電感稱為自感（self-inductance），是閉合回路自己本身的屬性。假設(shè)一個(gè)閉合回路的電流改變，由于感應(yīng)作用在另外一個(gè)閉合回路中產(chǎn)生電動(dòng)勢，這種電感稱為互感（mutual inductance）。電感以方程表達(dá)為

　　{\displaystyle{\mathcal{E}}=-L{\mathrmzdhbx3bi\over\mathrmrh7njd5t}}{\mathcal{E}}=-L{{\mathrmnz7pvpv}i\over{\mathrmdhp5phl}t}；

　　其中，{\displaystyle{\mathcal{E}}}{\mathcal{E}}是電動(dòng)勢，{\displaystyle L}L是電感，{\displaystyle i}i是電流，{\displaystyle t}t是時(shí)間。

　　術(shù)語“電感”是1886年由奧利弗·赫維賽德命名[1]。通常自感是以字母“L”標(biāo)記，以紀(jì)念物理學(xué)家海因里?！だ愦蝃2][3]?；ジ惺且宰帜浮癕”標(biāo)記，是其英文（Mutual Inductance）的第一個(gè)字母。采用國際單位制，電感的單位是亨利（Henry），標(biāo)記為“H”，以紀(jì)念科學(xué)家約瑟·亨利。與其他物理量的關(guān)系：一亨利等同一韋伯除以一安培（1 H=1 Wb/A）。

　　電感器是專門用在電路里實(shí)現(xiàn)電感的電路元件。螺線管是一種簡單的電感器，指的是多重卷繞的導(dǎo)線（稱為“線圈”），內(nèi)部可以是空心的，或者有一個(gè)金屬芯。螺線管的電感是自感。變壓器是兩個(gè)耦合的線圈形成的電感器，由于具有互感屬性，是一種基本磁路元件。在電路圖中電感的電路符號(hào)多半以L開頭，例如，L01、L02、L100、L201等。

概述

　　應(yīng)用麥克斯韋方程組，可以計(jì)算出電感。很多重要案例，經(jīng)過簡化程序后，可以被解析。當(dāng)涉及高頻率電流和伴隨的集膚效應(yīng)，經(jīng)過解析拉普拉斯方程，可以得到面電流密度與磁場。假設(shè)導(dǎo)體是纖細(xì)導(dǎo)線，自感仍舊跟導(dǎo)線半徑、內(nèi)部電流分布有關(guān)。假若導(dǎo)線半徑超小于其它長度尺寸，則這電流分布可以近似為常數(shù)（在導(dǎo)線的表面或體積內(nèi)部）。

自感

　　流動(dòng)于閉合回路的含時(shí)電流所產(chǎn)生的含時(shí)磁通量，會(huì)促使閉合回路本身出現(xiàn)感應(yīng)電動(dòng)勢。

　　如右圖所示，流動(dòng)于閉合回路的含時(shí)電流{\displaystyle i(t)}i(t)所產(chǎn)生的含時(shí)磁通量{\displaystyle\Phi(i)}\Phi(i)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，會(huì)促使閉合回路本身出現(xiàn)感應(yīng)電動(dòng)勢{\displaystyle{\mathcal{E}}}{\mathcal{E}}：

　　{\displaystyle{\mathcal{E}}=-N{{\mathrmrbrxppf\Phi}\over\mathrmdjn1zpht}=-N{{\mathrmtfb57fj\Phi}\over\mathrmz7v9fdxi}\{\mathrmvlfxpfhi\over\mathrmvh3rbfxt}}\mathcal{E}=-N{{\mathrmhpxtd7v\Phi}\over\mathrmrf77v7tt}=-N{{\mathrm5fbn57r\Phi}\over\mathrmfdbjt1ri}\{\mathrmbfhltx3i\over\mathrmprxpf1vt}；

　　其中，{\displaystyle N}N是閉合回路的卷繞匝數(shù)。

　　設(shè)定電感{\displaystyle L}L為

　　{\displaystyle L=N{\frac{\mathrmf7d7tbx\Phi}{\mathrmpdbnxddi}}}L=N{\frac{{\mathrm1prhf7x}\Phi}{{\mathrmbrpd55l}i}}。

　　則感應(yīng)電動(dòng)勢與含時(shí)電流之間的關(guān)系為

　　{\displaystyle{\mathcal{E}}=-L{\mathrmdzzzfzti\over\mathrmrl17fxpt}}{\mathcal{E}}=-L{{\mathrmlbl5xpt}i\over{\mathrm7x5vj77}t}。

　　由此可知，一個(gè)典型的電感元件中，在其幾何與物理特性都固定的狀況下，產(chǎn)生的電壓{\displaystyle v}v為：

　　{\displaystyle v=L{{\mathrm77t5rxxi}\over\mathrmtrp7zf7t}}v=L{{{\mathrmhpplnzv}i}\over{\mathrmzjnhr1h}t}。

　　電感的作用是抵抗電流的變化，但是這種作用與電阻阻礙電流的流動(dòng)是有區(qū)別的。電阻阻礙電流的流動(dòng)的特征是消耗電能，而電感則純粹是抵抗電流的變化。當(dāng)電流增加時(shí)電感抵抗電流的增加；當(dāng)電流減小時(shí)電感抵抗電流的減小。電感抵抗電流變化的過程并不消耗電能，當(dāng)電流增加時(shí)它會(huì)將能量以磁場的形式暫時(shí)儲(chǔ)存起來，等到電流減小時(shí)它又會(huì)將磁場的能量釋放出來，其效應(yīng)就是抵抗電流的變化。

互感

　　如右圖所示，流動(dòng)于閉合回路1的含時(shí)電流{\displaystyle i_{1}(t)}i_{1}(t)，會(huì)產(chǎn)生磁通量{\displaystyle\Phi _{2}(t)}\Phi _{{2}}(t)穿過閉合回路2，促使閉合回路2出現(xiàn)感應(yīng)電動(dòng)勢{\displaystyle{\mathcal{E}}_{2}}{\mathcal{E}}_{2}。穿過閉合回路2的磁通量和流動(dòng)于閉合回路1的含時(shí)電流，有線性關(guān)系，稱為互感{\displaystyle M_{21}}M_{{21}}，以方程表達(dá)為。

　　{\displaystyle\Phi _{2}=M_{21}i_{1}}\Phi _{{2}}=M_{{21}}i_{1}。

　　計(jì)算互感，可使用紐曼公式（Neumann formula)：

　　{\displaystyle M_{21}={\frac{\mu _{0}}{4\pi}}\oint _{\mathbb{C}_{1}}\oint _{\mathbb{C}_{2}}{\frac{\mathrml1rdbbf{\boldsymbol{\ell}}_{1}\cdot\mathrm7j7plfv{\boldsymbol{\ell}}_{2}}{|\mathbf{X}_{2}-\mathbf{X}_{1}|}}}M_{{21}}={\frac{\mu _{0}}{4\pi}}\oint _{{{\mathbb{C}}_{1}}}\oint _{{{\mathbb{C}}_{2}}}{\frac{{\mathrmht1rnvd}{\boldsymbol{\ell}}_{1}\cdot{\mathrmdhdvvvz}{\boldsymbol{\ell}}_{2}}{|{\mathbf{X}}_{2}-{\mathbf{X}}_{1}|}}；

　　其中，{\displaystyle\mu _{0}}\mu _{0}是磁常數(shù)，{\displaystyle\mathbb{C}_{1}}{\mathbb{C}}_{1}是閉合回路1，{\displaystyle\mathbb{C}_{2}}{\mathbb{C}}_{2}是閉合回路2，{\displaystyle\mathbf{X}_{1}}{\mathbf{X}}_{1}是微小線元素{\displaystyle\mathrm17vdn5n{\boldsymbol{\ell}}_{1}}{\mathrmdfb77f7}{\boldsymbol{\ell}}_{1}的位置，{\displaystyle\mathbf{X}_{2}}{\mathbf{X}}_{2}是微小線元素{\displaystyle\mathrmd75bd5r{\boldsymbol{\ell}}_{2}}{\mathrmjrvblrj}{\boldsymbol{\ell}}_{2}的位置。

　　由此公式可見，兩個(gè)線圈之間互感相同：{\displaystyle M_{12}=M_{21}}M_{{12}}=M_{{21}}，且互感是由兩個(gè)線圈的形狀、尺寸和相對位置而確定。

推導(dǎo)

　　穿過閉合回路2的磁通量{\displaystyle\Phi _{2}(t)}\Phi _{{2}}(t)為

　　{\displaystyle\Phi _{2}(t)=\int _{\mathbb{S}_{2}}\mathbf{B}_{1}(\mathbf{X}_{2},t)\cdot\mathrm37dzxbv\mathbf{a}_{2}}\Phi _{{2}}(t)=\int _{{{\mathbb{S}}_{2}}}{\mathbf{B}}_{1}({\mathbf{X}}_{2},t)\cdot{\mathrmxdv1t5d}{\mathbf{a}}_{2}；

　　其中，{\displaystyle\mathbb{S}_{2}}{\mathbb{S}}_{2}是邊緣為{\displaystyle\mathbb{C}_{2}}{\mathbb{C}}_{2}的任意曲面，{\displaystyle\mathrmfz7v7p5\mathbf{a}_{2}}{\mathrmznjd77z}{\mathbf{a}}_{2}是微小面元素。

　　改用磁矢勢{\displaystyle\mathbf{A}_{1}}{\mathbf{A}}_{1}計(jì)算：

　　{\displaystyle\mathbf{B}_{1}(\mathbf{X}_{2},t)=\nabla _{2}\times\mathbf{A}_{1}(\mathbf{X}_{2},t)}{\mathbf{B}}_{1}({\mathbf{X}}_{2},t)=\nabla _{2}\times{\mathbf{A}}_{1}({\mathbf{X}}_{2},t)；

　　其中，{\displaystyle\nabla _{2}}\nabla _{2}是對于變向量{\displaystyle\mathbf{X}_{2}}{\mathbf{X}}_{2}的偏微分。

　　應(yīng)用斯托克斯公式，可以得到

　　{\displaystyle\Phi _{2}(t)=\int _{\mathbb{S}_{2}}[\nabla _{2}\times\mathbf{A}_{1}(\mathbf{X}_{2},t)]\cdot\mathrm7p77dfz\mathbf{a}_{2}=\oint _{\mathbb{C}_{2}}\mathbf{A}_{1}(\mathbf{X}_{2},t)\cdot\mathrmjt5plbt{\boldsymbol{\ell}}_{2}}\Phi _{{2}}(t)=\int _{{{\mathbb{S}}_{2}}}[\nabla _{2}\times{\mathbf{A}}_{1}({\mathbf{X}}_{2},t)]\cdot{\mathrmrdxt7d7}{\mathbf{a}}_{2}=\oint _{{{\mathbb{C}}_{2}}}{\mathbf{A}}_{1}({\mathbf{X}}_{2},t)\cdot{\mathrmzpjv7td}{\boldsymbol{\ell}}_{2}。

　　磁矢勢{\displaystyle\mathbf{A}_{1}(\mathbf{X}_{2},t)}{\mathbf{A}}_{1}({\mathbf{X}}_{2},t)的定義式為

　　{\displaystyle\mathbf{A}_{1}(\mathbf{X}_{2},t)\{\stackrel{def}{=}}\{\frac{\mu _{0}i_{1}}{4\pi}}\oint _{\mathbb{C}_{1}}{\frac{\mathrmbp77xlr{\boldsymbol{\ell}}_{1}}{|\mathbf{X}_{2}-\mathbf{X}_{1}|}}}{\mathbf{A}}_{1}({\mathbf{X}}_{2},t)\{\stackrel{def}{=}}\{\frac{\mu _{0}i_{1}}{4\pi}}\oint _{{{\mathbb{C}}_{1}}}{\frac{{\mathrmz7zjdln}{\boldsymbol{\ell}}_{1}}{|{\mathbf{X}}_{2}-{\mathbf{X}}_{1}|}}。

　　磁通量與流動(dòng)于閉合回路1{\displaystyle\mathbb{C}_{1}}{\mathbb{C}}_{1}的電流{\displaystyle i_{1}}i_1的關(guān)系式為

　　{\displaystyle\Phi _{2}(t)={\frac{\mu _{0}i_{1}}{4\pi}}\oint _{\mathbb{C}_{1}}\oint _{\mathbb{C}_{2}}{\frac{\mathrmfrnjv7l{\boldsymbol{\ell}}_{1}\cdot\mathrmfbnljlf{\boldsymbol{\ell}}_{2}}{|\mathbf{X}_{2}-\mathbf{X}_{1}|}}}\Phi _{{2}}(t)={\frac{\mu _{0}i_{1}}{4\pi}}\oint _{{{\mathbb{C}}_{1}}}\oint _{{{\mathbb{C}}_{2}}}{\frac{{\mathrmhrlt7hl}{\boldsymbol{\ell}}_{1}\cdot{\mathrmvvnlhl7}{\boldsymbol{\ell}}_{2}}{|{\mathbf{X}}_{2}-{\mathbf{X}}_{1}|}}。

　　所以，互感為

　　{\displaystyle M_{21}={\frac{\mathrmdjnvdvb\Phi _{2}}{\mathrm1plfrv5i_{1}}}={\frac{\mu _{0}}{4\pi}}\oint _{\mathbb{C}_{1}}\oint _{\mathbb{C}_{2}}{\frac{\mathrml7rzthl{\boldsymbol{\ell}}_{1}\cdot\mathrmht7hph9{\boldsymbol{\ell}}_{2}}{|\mathbf{X}_{2}-\mathbf{X}_{1}|}}}M_{{21}}={\frac{{\mathrmnxhblth}\Phi _{2}}{{\mathrmnpztdhn}i_{1}}}={\frac{\mu _{0}}{4\pi}}\oint _{{{\mathbb{C}}_{1}}}\oint _{{{\mathbb{C}}_{2}}}{\frac{{\mathrmddpffbt}{\boldsymbol{\ell}}_{1}\cdot{\mathrmtpj5h1v}{\boldsymbol{\ell}}_{2}}{|{\mathbf{X}}_{2}-{\mathbf{X}}_{1}|}}。

　　這方程稱為紐曼公式（Neumann formula）。注意到對換閉合回路{\displaystyle\mathbb{C}_{1}}{\mathbb{C}}_{1}與{\displaystyle\mathbb{C}_{2}}{\mathbb{C}}_{2}不會(huì)改變結(jié)果，{\displaystyle M_{21}=M_{12}}M_{{21}}=M_{{12}}，因此，可以以變數(shù){\displaystyle M}M統(tǒng)一代表。

　　類似地，穿過閉合回路1的磁通量{\displaystyle\Phi _{1}(t)}\Phi _{{1}}(t)為

　　{\displaystyle\Phi _{1}(t)={\frac{\mu _{0}i_{1}}{4\pi}}\oint _{\mathbb{C}_{1}}\oint _{\mathbb{C}'_{1}}{\frac{\mathrmbt3rvrh{\boldsymbol{\ell}}_{1}\cdot\mathrmdvttpzj{\boldsymbol{\ell}}'_{1}}{|\mathbf{X}_{1}-\mathbf{X}'_{1}|}}}\Phi _{{1}}(t)={\frac{\mu _{0}i_{1}}{4\pi}}\oint _{{{\mathbb{C}}_{1}}}\oint _{{{\mathbb{C}}'_{1}}}{\frac{{\mathrmjlfnxtx}{\boldsymbol{\ell}}_{1}\cdot{\mathrmxvfff3h}{\boldsymbol{\ell}}'_{1}}{|{\mathbf{X}}_{1}-{\mathbf{X}}'_{1}|}}。

　　除去所有下標(biāo)，令{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}、{\displaystyle\mathbb{C}'}{\mathbb{C}}'代表同一閉合回路，自感以方程表示為

　　{\displaystyle L={\frac{\mathrmj7f7lxf\Phi}{\mathrmzvtz7v5i}}={\frac{\mu _{0}}{4\pi}}\oint _{\mathbb{C}}\oint _{\mathbb{C}'}{\frac{\mathrm75pjrxt{\boldsymbol{\ell}}\cdot\mathrmdx17dfr{\boldsymbol{\ell}}'}{|\mathbf{X}-\mathbf{X}'|}}}L={\frac{{\mathrmtfl5jz1}\Phi}{{\mathrmlh1bfvd}i}}={\frac{\mu _{0}}{4\pi}}\oint _{{{\mathbb{C}}}}\oint _{{{\mathbb{C}}'}}{\frac{{\mathrmnnvf7pl}{\boldsymbol{\ell}}\cdot{\mathrm97nh7r5}{\boldsymbol{\ell}}'}{|{\mathbf{X}}-{\mathbf{X}}'|}}。

　　當(dāng){\displaystyle\mathbf{X}_{1}=\mathbf{X}'_{1}}{\mathbf{X}}_{1}={\mathbf{X}}'_{1}時(shí)，這積分可能會(huì)發(fā)散，需要特別加以處理。另外，若假設(shè)閉合回路為無窮細(xì)小，則在閉合回路附近，磁場會(huì)變得無窮大，磁通量也會(huì)變得無窮大，所以，必須給予閉合回路有限尺寸，設(shè)定其截面半徑{\displaystyle r_{0}}r_{0}超小于徑長{\displaystyle\ell _{0}}\ell _{0}，

　　有很多種方法可以化解這困難。例如，令{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}為閉合回路的中心曲軸，令{\displaystyle\mathbb{C}'}{\mathbb{C}}'為閉合回路的表面，則{\displaystyle\mathbf{X}_{1}\neq\mathbf{X}'_{1}}{\mathbf{X}}_{1}\neq{\mathbf{X}}'_{1}，這積分就不會(huì)發(fā)散了[4]。

耦合系數(shù)

　　耦合系數(shù)為描述電感之間互感量與自感量的相對大小，兩電感器的耦合系數(shù)定義為

　　{\displaystyle k={\frac{M}{\sqrt{L_{1}L_{2}}}}}{\displaystyle k={\frac{M}{\sqrt{L_{1}L_{2}}}}}；

　　其中{\displaystyle k}k為耦合系數(shù)，無單位；{\displaystyle M}M為兩電感的互感值，{\displaystyle L_{1},L_{2}}{\displaystyle L_{1},L_{2}}分別為兩電感器的自感值。

　　電感與磁場能量

　　將前面論述加以推廣，思考{\displaystyle K}K條閉合回路，設(shè)定第{\displaystyle k}k條閉合回路的卷繞匝數(shù)為{\displaystyle N_{k}}N_{k}，載有電流{\displaystyle i_{k}}i_{k}，則其磁鏈{\displaystyle N_{k}\Phi _{k}}N_{{k}}\Phi _{{k}}為

　　{\displaystyle N_{k}\Phi _{k}=\sum _{n=1}^{K}L_{k,n}i_{n}}N_{{k}}\Phi _{{k}}=\sum _{{n=1}}^{{K}}L_{{k,n}}i_{{n}}；

　　其中，{\displaystyle\Phi _{k}}\Phi _{{k}}是穿過第{\displaystyle k}k條閉合回路的磁通量，{\displaystyle L_{k,k}=L_{k}}L_{{k,k}}=L_{k}是自感，{\displaystyle L_{k,n}=M_{k,n},k\neq n}L_{{k,n}}=M_{{k,n}},k\neq n是互感。

　　由于第{\displaystyle n}n條閉合回路對于磁通量{\displaystyle\Phi _{k}}\Phi _{{k}}的總貢獻(xiàn)是卷繞匝數(shù)乘以電流，即{\displaystyle N_{n}i_{n}}N_{n}i_{n}，所以，{\displaystyle L_{k,n}}L_{{k,n}}與乘積{\displaystyle N_{k}N_{n}}N_{k}N_{n}成正比。

　　從法拉第電磁感應(yīng)定律，可以得到

　　{\displaystyle v_{k}=-{\mathcal{E}}_{k}=N_{k}{\frac{\mathrmzrtjtrd\Phi _{k}}{\mathrmll17b99t}}=\sum _{n=1}^{K}L_{k,n}{\frac{\mathrmb7p1779i_{n}}{\mathrmxpxvtrnt}}=L_{k}{\frac{\mathrm5v9ff7ni_{k}}{\mathrm1xb5h9bt}}+\sum _{n=1,\n\neq k}^{K}M_{k,n}{\frac{\mathrmfttffxti_{n}}{\mathrmn9r9txft}}}v_{{k}}=-{\mathcal{E}}_{k}=N_{{k}}{\frac{{\mathrmjpv3zhf}\Phi _{{k}}}{{\mathrm7dlvrjf}t}}=\sum _{{n=1}}^{{K}}L_{{k,n}}{\frac{{\mathrmn3dnzfn}i_{{n}}}{{\mathrm7dj7tzv}t}}=L_{k}{\frac{{\mathrmlh1xtdt}i_{k}}{{\mathrmjn975vx}t}}+\sum _{{n=1,\n\neq k}}^{{K}}M_{{k,n}}{\frac{{\mathrmtbzvrdv}i_{{n}}}{{\mathrmh17h7hz}t}}；

　　其中，{\displaystyle v_{k}}v_{{k}}是第{\displaystyle k}k條閉合回路的感應(yīng)電壓。

　　第{\displaystyle k}k條閉合回路的電功率{\displaystyle p_{k}}p_k為

　　{\displaystyle p_{k}=i_{k}v_{k}}p_{k}=i_{k}v_{k}。

　　假設(shè)原先所有電流為零，即{\displaystyle i_{1}=i_{2}=\dots=i_{K}=0}i_{1}=i_{2}=\dots=i_{K}=0,儲(chǔ)存于所有閉合回路的總磁能為{\displaystyle 0}{\displaystyle 0}?，F(xiàn)在，將第一條閉合回路的電流{\displaystyle i_{1}}i_1平滑地從{\displaystyle 0}{\displaystyle 0}增加到{\displaystyle I_{1}}I_{1}，同時(shí)保持其它閉合回路的電流不變，則儲(chǔ)存于第一條閉合回路的磁能{\displaystyle W_{1}}W_{1}為

　　{\displaystyle W_{1}=\int i_{1}v_{1}\mathrmlf7n3rlt=\int _{0}^{I_{1}}i_{1}L_{1}\mathrmrl1r7bpi_{1}={\frac{1}{2}}L_{1}I_{1}^{2}}W_{1}=\int i_{1}v_{1}{\mathrmxh3rnvv}t=\int _{0}^{{I_{1}}}i_{1}L_{1}{\mathrm3vhfr7z}i_{1}={\frac{1}{2}}L_{1}I_{1}^{2}。

　　然后，將第二條閉合回路的電流{\displaystyle i_{2}}i_2平滑地從{\displaystyle 0}{\displaystyle 0}增加到{\displaystyle I_{2}}I_{2}，同時(shí)保持其它閉合回路的電流不變，則儲(chǔ)存于第二條閉合回路的磁能{\displaystyle W_{2}}W_{2}為

　　{\displaystyle W_{2}=\int i_{2}v_{2}\mathrmdvp79b7t=\int _{0}^{I_{2}}i_{2}L_{2}\mathrmz7lhd7vi_{2}+\int _{0}^{I_{2}}I_{1}M_{1,2}\mathrm1pp5l7pi_{2}={\frac{1}{2}}L_{2}I_{2}^{2}+M_{1,2}I_{1}I_{2}}W_{2}=\int i_{2}v_{2}{\mathrmnnhpxbr}t=\int _{0}^{{I_{2}}}i_{2}L_{2}{\mathrm9bffbd7}i_{2}+\int _{0}^{{I_{2}}}I_{1}M_{{1,2}}{\mathrmznp5n7p}i_{2}={\frac{1}{2}}L_{2}I_{2}^{2}+M_{{1,2}}I_{1}I_{2}。

　　案照這方法繼續(xù)地計(jì)算，儲(chǔ)存于第{\displaystyle k}k條閉合回路的磁能{\displaystyle W_{k}}W_{k}為

　　{\displaystyle W_{k}=\int i_{k}v_{k}\mathrmzj9dxbjt=\int _{0}^{I_{k}}i_{k}L_{k}\mathrmp1blhpti_{k}+\sum _{n=1}^{k-1}\int _{0}^{I_{k}}I_{n}M_{n,k}\mathrmp1bjllti_{k}={\frac{1}{2}}L_{k}I_{k}^{2}+\sum _{n=1}^{k-1}M_{n,k}I_{n}I_{k}}W_{k}=\int i_{k}v_{k}{\mathrmv11vtbr}t=\int _{0}^{{I_{k}}}i_{k}L_{k}{\mathrmzlvxzn9}i_{k}+\sum _{{n=1}}^{{k-1}}\int _{0}^{{I_{k}}}I_{n}M_{{n,k}}{\mathrmfvvb35x}i_{k}={\frac{1}{2}}L_{k}I_{k}^{2}+\sum _{{n=1}}^{{k-1}}M_{{n,k}}I_{n}I_{k}。

　　所以，當(dāng)每一個(gè)閉合回路的電流都平滑地增加到其最終電流之后，儲(chǔ)存于所有閉合回路的總磁能{\displaystyle W}W為[5]

　　{\displaystyle W={\frac{1}{2}}\sum _{k=1}^{K}L_{k}I_{k}^{2}+\sum _{k=1}^{K}\sum _{n=1}^{k-1}M_{n,k}I_{n}I_{k}={\frac{1}{2}}\sum _{k=1}^{K}L_{k}I_{k}^{2}+{\frac{1}{2}}\sum _{k=1}^{K}\sum _{n=1,n\neq k}^{K}M_{n,k}I_{n}I_{k}}W={\frac{1}{2}}\sum _{{k=1}}^{{K}}L_{k}I_{k}^{2}+\sum _{{k=1}}^{{K}}\sum _{{n=1}}^{{k-1}}M_{{n,k}}I_{n}I_{k}={\frac{1}{2}}\sum _{{k=1}}^{{K}}L_{k}I_{k}^{2}+{\frac{1}{2}}\sum _{{k=1}}^{{K}}\sum _{{n=1,n\neq k}}^{{K}}M_{{n,k}}I_{n}I_{k}。

　　假設(shè)將{\displaystyle I_{n}}I_n與{\displaystyle I_{k}}I_{k}的數(shù)值交換，總磁能{\displaystyle W}W不會(huì)改變。滿足可積分條件{\displaystyle{\frac{\partial^{2}{W}}{\partial I_{n}\partial I_{k}}}={\frac{\partial^{2}{W}}{\partial I_{k}\partial I_{n}}}}{\frac{\partial^{2}{W}}{\partial I_{n}\partial I_{k}}}={\frac{\partial^{2}{W}}{\partial I_{k}\partial I_{n}}}，必需要求{\displaystyle L_{k,n}=L_{n,k}}L_{{k,n}}=L_{{n,k}}成立。所以，電感矩陣{\displaystyle L_{k,n}}L_{{k,n}}是個(gè)對稱矩陣。

　　從物理角度來看，上述增加電流方法并不是唯一方法，還有其它很多種增加電流方法。由于能量守恒，沒有任何耗散能量。所以，不論選擇哪一種方法，只要每一條閉合回路的電流增加到其最終電流，則儲(chǔ)存的總磁能都相等。

串聯(lián)與并聯(lián)電路

串聯(lián)電路

　　主條目：串聯(lián)電路

自感現(xiàn)象

　　如右圖所示，{\displaystyle n}n個(gè)電感器串聯(lián)的等效電感{\displaystyle L_{eq}}L_{{eq}}為

　　{\displaystyle L_{eq}=L_{1}+L_{2}+\cdots+L_{n}}L_{{eq}}=L_{1}+L_{2}+\cdots+L_{n}。

　　將{\displaystyle n}n個(gè)電感器串聯(lián)在一起，并在這個(gè)串聯(lián)電路的兩端加上電源。按照電感的定義，第{\displaystyle k}k個(gè)電感器兩端的電壓{\displaystyle v_{k}}v_{k}等于其電感{\displaystyle L_{k}}L_{k}乘以通過的電流的變率{\displaystyle{\frac{\mathrmxjhttp3i_{k}}{\mathrmtxh3lp7t}}}{\frac{{\mathrmjlhxp9z}i_{k}}{{\mathrm1flvpp3}t}}：

　　{\displaystyle v_{k}=L_{k}{\frac{\mathrmvvhthzbi_{k}}{\mathrmbx1zvvbt}}}v_{k}=L_{k}{\frac{{\mathrmr7jp7rp}i_{k}}{{\mathrmz5drd33}t}}；

　　按照基爾霍夫電流定律，從電源（直流電或交流電）給出的電流{\displaystyle i}i等于通過每一個(gè)電感器的電流{\displaystyle i_{k}}i_{k}。所以，

　　{\displaystyle i=i_{1}=i_{2}=\cdots=i_{n}}i=i_{1}=i_{2}=\cdots=i_{n}；

　　根據(jù)基爾霍夫電壓定律，電源兩端的電壓等于所有電感器兩端的電壓的代數(shù)和：

　　{\displaystyle v=v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{n}=L_{1}{\frac{\mathrmlfpl7zdi_{1}}{\mathrmp1hndhrt}}+L_{2}{\frac{\mathrmpjvx3pti_{2}}{\mathrmjxtdprnt}}+\cdots+L_{n}{\frac{\mathrm5plhtnpi_{n}}{\mathrm1fhb1v1t}}=(L_{1}+L_{2}+\cdots+L_{n}){\frac{\mathrmltrlpbhi}{\mathrmznvz7vht}}}v=v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{n}=L_{1}{\frac{{\mathrmhjdzvbf}i_{1}}{{\mathrmltrlxvh}t}}+L_{2}{\frac{{\mathrmnh9nhrp}i_{2}}{{\mathrmpf9bnrt}t}}+\cdots+L_{n}{\frac{{\mathrm555hrzt}i_{n}}{{\mathrmx1d79lt}t}}=(L_{1}+L_{2}+\cdots+L_{n}){\frac{{\mathrmplvjhpp}i}{{\mathrmzdr3pfl}t}}；

　　所以，{\displaystyle n}n個(gè)電感器串聯(lián)的等效電感{\displaystyle L_{eq}}L_{{eq}}為

　　{\displaystyle L_{eq}=L_{1}+L_{2}+\cdots+L_{n}}L_{{eq}}=L_{1}+L_{2}+\cdots+L_{n}。

互感現(xiàn)象

　　由于電感器產(chǎn)生的磁場會(huì)與其鄰近電感器的纏繞線圈發(fā)生耦合，很難避免緊鄰的電感器彼此互相影響。物理量互感{\displaystyle M}M能夠給出對于這影響的衡量。

　　例如，由電感分別為{\displaystyle L_{1}}L_{1}、{\displaystyle L_{2}}L_2，互感為{\displaystyle M}M的兩個(gè)電感器構(gòu)成的串聯(lián)電路，其等效互感{\displaystyle L_{eq}}L_{{eq}}有兩種可能：

　　假設(shè)兩個(gè)電感器分別產(chǎn)生的磁場或磁通量，其方向相同，則稱為“串聯(lián)互助”，其等效電感

　　{\displaystyle L_{eq}=L_{1}+L_{2}+2M}L_{{eq}}=L_{1}+L_{2}+2M。

　　假設(shè)兩個(gè)電感器分別產(chǎn)生的磁場或磁通量，其方向相反，則稱為“串聯(lián)互消”，其等效電感

　　{\displaystyle L_{eq}=L_{1}+L_{2}-2M}L_{{eq}}=L_{1}+L_{2}-2M。

　　對于具有三個(gè)或三個(gè)以上電感器的串聯(lián)電路，必需考慮到每個(gè)電感器自己本身的自感和電感器與電感器之間的互感，這會(huì)使得計(jì)算更加復(fù)雜。等效電感是所有自感與互感的代數(shù)和。例如，由三個(gè)電感器構(gòu)成的串聯(lián)電路，會(huì)涉及三個(gè)自感和六個(gè)互感。三個(gè)電感器的自感分別為{\displaystyle M_{11}}M_{{11}}、{\displaystyle M_{22}}M_{{22}}、{\displaystyle M_{33}}M_{{33}}；互感分別為{\displaystyle M_{12}}M_{{12}}、{\displaystyle M_{13}}M_{{13}}、{\displaystyle M_{23}}M_{{23}}、{\displaystyle M_{21}}M_{{21}}、{\displaystyle M_{31}}M_{{31}}、{\displaystyle M_{32}}M_{{32}}。等效電感為

　　{\displaystyle L_{eq}=(M_{11}+M_{22}+M_{33})+(M_{12}+M_{13}+M_{23})+(M_{21}+M_{31}+M_{32})}L_{{eq}}=(M_{{11}}+M_{{22}}+M_{{33}})+(M_{{12}}+M_{{13}}+M_{{23}})+(M_{{21}}+M_{{31}}+M_{{32}})。

　　由于任意兩個(gè)電感器彼此之間的互感相等，{\displaystyle M_{ij}}M_{{ij}}={\displaystyle M_{ji}}M_{{ji}}，后面兩組互感可以合并：

　　{\displaystyle L_{eq}=(M_{11}+M_{22}+M_{33})+2(M_{12}+M_{13}+M_{23})}L_{{eq}}=(M_{{11}}+M_{{22}}+M_{{33}})+2(M_{{12}}+M_{{13}}+M_{{23}})。

互感公式推導(dǎo)

　　如右圖所示，兩個(gè)電感器串聯(lián)互助在一起。將電源連接于這串聯(lián)電路的兩端。應(yīng)用基爾霍夫電壓定律，按照點(diǎn)規(guī)定，可以得到

　　{\displaystyle-v+L_{1}{\frac{\mathrmpbtjjlri}{\mathrmxt1xhxdt}}+M{\frac{\mathrmdjhjbhhi}{\mathrmbxv97vzt}}+L_{2}{\frac{\mathrmv9lh1ldi}{\mathrmplz55nht}}+M{\frac{\mathrmdfvpzlbi}{\mathrmtjlh1jjt}}=0}{\displaystyle-v+L_{1}{\frac{\mathrmdfzrl7vi}{\mathrm7xpnlflt}}+M{\frac{\mathrmzh7vphxi}{\mathrm1x9jdjpt}}+L_{2}{\frac{\mathrmlvfzvb7i}{\mathrmrzbjv17t}}+M{\frac{\mathrmrd3hfjvi}{\mathrmr7xfbpht}}=0}；

　　其中，{\displaystyle v}v是電源兩端的電壓，{\displaystyle i}i是電流。

　　電壓{\displaystyle v}v和電流{\displaystyle i}i之間的關(guān)系為

　　{\displaystyle v=(L_{1}+L_{2}+2M){\frac{\mathrmrjt7x7ni}{\mathrm97dhzrrt}}}{\displaystyle v=(L_{1}+L_{2}+2M){\frac{\mathrmznp9h1di}{\mathrm57rfrxnt}}}；

　　所以，兩個(gè)電感器串聯(lián)互助的等效電感為

　　{\displaystyle L_{eq}=L_{1}+L_{2}+2M}{\displaystyle L_{eq}=L_{1}+L_{2}+2M}。

　　以類似的作法，也能得到兩個(gè)電感器串聯(lián)互消的等效電感。

并聯(lián)電路

　　主條目：并聯(lián)電路

自感現(xiàn)象

　　如右圖所示，{\displaystyle n}n個(gè)電感器并聯(lián)在一起，類似前面所述方法，可以計(jì)算出其等效電感{\displaystyle L_{eq}}L_{{eq}}為

　　{\displaystyle{\frac{1}{L_{eq}}}={\frac{1}{L_{1}}}+{\frac{1}{L_{2}}}+\cdots+{\frac{1}{L_{n}}}}{\frac{1}{L_{{eq}}}}={\frac{1}{L_{1}}}+{\frac{1}{L_{2}}}+\cdots+{\frac{1}{L_{n}}}。

互感現(xiàn)象

　　由于電感器產(chǎn)生的磁場會(huì)與其鄰近電感器的纏繞線圈發(fā)生耦合，很難避免緊鄰的電感器彼此互相影響。物理量互感{\displaystyle M}M能夠給出對于這影響的衡量。上述方程描述{\displaystyle n}n個(gè)電感器無互感并聯(lián)的理想案例。

　　由電感分別為{\displaystyle L_{1}}L_{1}、{\displaystyle L_{2}}L_2，互感為{\displaystyle M}M的兩個(gè)電感器構(gòu)成的并聯(lián)電路，其等效互感{\displaystyle L_{eq}}L_{{eq}}為[6]：

　　假設(shè)兩個(gè)電感器分別產(chǎn)生的磁場或磁通量，其方向相同，則稱為“并聯(lián)互助”，其等效電感

　　{\displaystyle L_{eq}={\frac{L_{1}L_{2}-M^{2}}{L_{1}+L_{2}-2M}}}L_{{eq}}={\frac{L_{1}L_{2}-M^{2}}{L_{1}+L_{2}-2M}}。

　　假設(shè)兩個(gè)電感器分別產(chǎn)生的磁場或磁通量，其方向相反，則稱為“并聯(lián)互消”，其等效電感

　　{\displaystyle L_{eq}={\frac{L_{1}L_{2}-M^{2}}{L_{1}+L_{2}+2M}}}L_{{eq}}={\frac{L_{1}L_{2}-M^{2}}{L_{1}+L_{2}+2M}}。

　　對于具有三個(gè)或三個(gè)以上電感器的并聯(lián)電路，必需考慮到每個(gè)電感器自己本身的自感和電感器與電感器之間的互感，這會(huì)使得計(jì)算更加復(fù)雜。

互感公式推導(dǎo)

　　如右圖所示，兩個(gè)電感器并聯(lián)互助在一起。將電源連接于這并聯(lián)電路的兩端。應(yīng)用基爾霍夫電壓定律，按照點(diǎn)規(guī)定，可以得到

　　{\displaystyle-v+L_{1}{\frac{\mathrmpfnr3zli_{1}}{\mathrmxndztjvt}}+M{\frac{\mathrmjflhlbri_{2}}{\mathrmph73pf7t}}=0}{\displaystyle-v+L_{1}{\frac{\mathrm5xr7tl7i_{1}}{\mathrmzdt5tjzt}}+M{\frac{\mathrmrbzxhfdi_{2}}{\mathrmfzbxvbjt}}=0}；

　　{\displaystyle-v+L_{2}{\frac{\mathrmhphprf3i_{2}}{\mathrml73bplft}}+M{\frac{\mathrmhd9td9ji_{1}}{\mathrmbzxrznbt}}=0}{\displaystyle-v+L_{2}{\frac{\mathrmb5tffzli_{2}}{\mathrmxxt97tnt}}+M{\frac{\mathrmznb739fi_{1}}{\mathrmbhn9rn1t}}=0}；

　　其中，{\displaystyle v}v是電源兩端的電壓，{\displaystyle i_{1}}i_1和{\displaystyle i_{2}}i_2分別是通過兩個(gè)支路的電流。

　　利用二元一次聯(lián)立方程組的克拉瑪公式，可得

　　{\displaystyle{\frac{di_{1}}{dt}}={\frac{v(L_{2}-M)}{L_{1}L_{2}-M^{2}}}}{\displaystyle{\frac{di_{1}}{dt}}={\frac{v(L_{2}-M)}{L_{1}L_{2}-M^{2}}}}；

　　{\displaystyle{\frac{di_{2}}{dt}}={\frac{v(L_{1}-M)}{L_{1}L_{2}-M^{2}}}}{\displaystyle{\frac{di_{2}}{dt}}={\frac{v(L_{1}-M)}{L_{1}L_{2}-M^{2}}}}；

　　根據(jù)基爾霍夫電流定律，{\displaystyle i=i_{1}+i_{2}}{\displaystyle i=i_{1}+i_{2}}，因此

　　{\displaystyle{\frac{di}{dt}}={\frac{di_{1}}{dt}}+{\frac{di_{2}}{dt}}={\frac{v(L_{1}+L_{2}-2M)}{L_{1}L_{2}-M^{2}}}}{\displaystyle{\frac{di}{dt}}={\frac{di_{1}}{dt}}+{\frac{di_{2}}{dt}}={\frac{v(L_{1}+L_{2}-2M)}{L_{1}L_{2}-M^{2}}}}；

　　可得電壓{\displaystyle v}v和電流{\displaystyle i}i之間的關(guān)系為

　　{\displaystyle v={\frac{L_{1}L_{2}-M^{2}}{L_{1}+L_{2}-2M}}\{\frac{\mathrmdhdlhphi}{\mathrmf79pvhrt}}}v={\frac{L_{1}L_{2}-M^{2}}{L_{1}+L_{2}-2M}}\{\frac{{\mathrmpl9ndbn}i}{{\mathrmdrzjp1b}t}}；

　　所以，兩個(gè)電感器并聯(lián)互助的等效電感為

　　{\displaystyle L_{eq}={\frac{L_{1}L_{2}-M^{2}}{L_{1}+L_{2}-2M}}}L_{{eq}}={\frac{L_{1}L_{2}-M^{2}}{L_{1}+L_{2}-2M}}。

　　以類似的作法，也能得到兩個(gè)電感器并聯(lián)互消的等效電感。

鏡像法

　　對于某些案例，不同的電流分布會(huì)在空間的一些區(qū)域產(chǎn)生同樣的磁場。這論據(jù)可以用來計(jì)算電感。例如，思考以下兩個(gè)系統(tǒng)：

　　一條筆直的載流導(dǎo)線與導(dǎo)體墻之間的距離為{\displaystyle d/2}d/2。

　　兩條互相平行、載有異向電流的導(dǎo)線，彼此之間的距離為{\displaystyle d}d。

　　這兩個(gè)系統(tǒng)的磁場在導(dǎo)體墻外的半空間（half-space）相等。第二個(gè)系統(tǒng)的磁能與電感分別是第一個(gè)系統(tǒng)的兩倍。

非線性電感

　很多電感器是用磁性材料制成。假若磁場超過材料的飽和度，則這些材料會(huì)顯示出非線性磁導(dǎo)率行為與伴隨的磁飽和效應(yīng)，從而促使電感成為施加電流的函數(shù)。雖然法拉第電磁感應(yīng)定律仍舊成立，但電感會(huì)具有多重歧義，依計(jì)算電路參數(shù)或磁通量而不同。

　　“大信號(hào)電感”是用來計(jì)算磁通量，以方程定義為

　　{\displaystyle L_{s}(i)\{\stackrel{\mathrm{def}}{=}}\{\frac{N\Phi}{i}}={\frac{\Lambda}{i}}}L_{s}(i)\{\stackrel{{\mathrm{def}}}{=}}\{\frac{N\Phi}{i}}={\frac{\Lambda}{i}}。

　　“小信號(hào)電感”是用來計(jì)算電壓，以方程定義為

　　{\displaystyle L_hxlp5fb(i)\{\stackrel{\mathrm{def}}{=}}\{\frac{\mathrmvnz7lrx(N\Phi)}{\mathrmr5bjfhzi}}={\frac{\mathrmbjxdxlx\Lambda}{\mathrmvnljzfdi}}}{\displaystyle L_ddprvhx(i)\{\stackrel{\mathrm{def}}{=}}\{\frac{\mathrmvdrnbjb(N\Phi)}{\mathrm7bpp5vxi}}={\frac{\mathrmrt7rxbv\Lambda}{\mathrmldn57fbi}}}。

　　非線性電感器的電壓為

　　{\displaystyle v(t)={\frac{\mathrmldn5nrt\Lambda}{\mathrm37p9zt5t}}={\frac{\mathrmzfx993b\Lambda}{\mathrmz9blldni}}{\frac{\mathrmlt19p1ri}{\mathrmnnxhtfrt}}=L_vntfln9(i){\frac{\mathrmlttlz7ji}{\mathrmxt1xv77t}}}{\displaystyle v(t)={\frac{\mathrmj3pp3xb\Lambda}{\mathrm5hj1p1nt}}={\frac{\mathrmjt9ptbn\Lambda}{\mathrmtdhrxd5i}}{\frac{\mathrmvhdnvvni}{\mathrmdtrn75bt}}=L_r1fjbxn(i){\frac{\mathrmj3pz9jzi}{\mathrmbbffbznt}}}。

　　類似地，可以給出非線性互感的定義。

簡單電路的自感

　　很多種電路的自感可以以閉形式給出：

　　種類{\displaystyle L/\mu _{0}}L/\mu _{0}注釋

　　單層

　　螺線管[7]{\displaystyle\quad{\frac{r^{2}N^{2}}{3\ell}}\left\{-8w+4{\frac{\sqrt{1+m}}{m}}\left(K\left({\sqrt{\frac{m}{1+m}}}\right)-\left(1-m\right)E\left({\sqrt{\frac{m}{1+m}}}\right)\right)\right\}}{\displaystyle\quad{\frac{r^{2}N^{2}}{3\ell}}\left\{-8w+4{\frac{\sqrt{1+m}}{m}}\left(K\left({\sqrt{\frac{m}{1+m}}}\right)-\left(1-m\right)E\left({\sqrt{\frac{m}{1+m}}}\right)\right)\right\}}

　　{\displaystyle={\frac{r^{2}N^{2}\pi}{\ell}}\left\{1-{\frac{8w}{3\pi}}+\sum _{n=1}^{\infty}{\frac{\left(2n\right)!^{2}}{n!^{4}\left(n+1\right)\left(2n-1\right)2^{2n}}}\left(-1\right)^{n+1}w^{2n}\right\}}={\frac{r^{2}N^{2}\pi}{\ell}}\left\{1-{\frac{8w}{3\pi}}+\sum _{{n=1}}^{{\infty}}{\frac{\left(2n\right)!^{2}}{n!^{4}\left(n+1\right)\left(2n-1\right)2^{{2n}}}}\left(-1\right)^{{n+1}}w^{{2n}}\right\}

　　{\displaystyle={\begin{cases}{\frac{r^{2}N^{2}\pi}{\ell}}\left(1-{\frac{8w}{3\pi}}+{\frac{w^{2}}{2}}-{\frac{w^{4}}{4}}+{\frac{5w^{6}}{16}}-{\frac{35w^{8}}{64}}+...\right)\,&w\ll 1\\rN^{2}\left\{\left(1+{\frac{1}{32w^{2}}}+O({\frac{1}{w^{4}}})\right)\ln\left(8w\right)-{\frac{1}{2}}+{\frac{1}{128w^{2}}}+O({\frac{1}{w^{4}}})\right\}\,&w\gg 1\end{cases}}}{\displaystyle={\begin{cases}{\frac{r^{2}N^{2}\pi}{\ell}}\left(1-{\frac{8w}{3\pi}}+{\frac{w^{2}}{2}}-{\frac{w^{4}}{4}}+{\frac{5w^{6}}{16}}-{\frac{35w^{8}}{64}}+...\right)\,&w\ll 1\\rN^{2}\left\{\left(1+{\frac{1}{32w^{2}}}+O({\frac{1}{w^{4}}})\right)\ln\left(8w\right)-{\frac{1}{2}}+{\frac{1}{128w^{2}}}+O({\frac{1}{w^{4}}})\right\}\,&w\gg 1\end{cases}}}

　　{\displaystyle N}N：卷繞匝數(shù)

　　{\displaystyle r}r：半徑

　　{\displaystyle\ell}\ell：長度

　　{\displaystyle w=r/\ell}{\displaystyle w=r/\ell}

　　{\displaystyle m=4w^{2}}m=4w^{2}

　　{\displaystyle E,K}E,K：橢圓積分

　　同軸電纜

　　（高頻率）{\displaystyle{\frac{\mu _{0}\ell}{2\pi}}\,\ln{\frac{\;r_{\text{o}}}{\;r_{i}}}}{\displaystyle{\frac{\mu _{0}\ell}{2\pi}}\,\ln{\frac{\;r_{\text{o}}}{\;r_{i}}}}{\displaystyle r_{\text{o}}}{\displaystyle r_{\text{o}}}：外半徑

　　{\displaystyle r_{i}}{\displaystyle r_{i}}：內(nèi)半徑

　　{\displaystyle\ell}\ell：長度

　　圓形循環(huán)[8]{\displaystyle\mu _{0}r\cdot\left(\ln{\frac{8r}{a}}-2+{\frac{Y}{2}}+O\left(a^{2}/r^{2}\right)\right)}{\displaystyle\mu _{0}r\cdot\left(\ln{\frac{8r}{a}}-2+{\frac{Y}{2}}+O\left(a^{2}/r^{2}\right)\right)}{\displaystyle r}r：循環(huán)半徑

　　{\displaystyle a}a：導(dǎo)線半徑

　　長方形

　　循環(huán){\displaystyle{\frac{\mu _{0}}{\pi}}\left(b\ln{\frac{2b}{a}}+d\ln{\frac{2d}{a}}-\left(b+d\right)\left(2-{\frac{Y}{2}}\right)+2{\sqrt{b^{2}+d^{2}}}\right.}{\displaystyle{\frac{\mu _{0}}{\pi}}\left(b\ln{\frac{2b}{a}}+d\ln{\frac{2d}{a}}-\left(b+d\right)\left(2-{\frac{Y}{2}}\right)+2{\sqrt{b^{2}+d^{2}}}\right.}

　　{\displaystyle\left.-b\cdot\operatorname{arsinh}{\fracxrjdzdj}-d\cdot\operatorname{arsinh}{\fracpdpjfx3}+O\left(a\right)\right)}\left.-b\cdot\operatorname{arsinh}{{\fraclpllhnz}}-d\cdot\operatorname{arsinh}{{\frac1rnzx3t}}+O\left(a\right)\right)

　　{\displaystyle a}a：導(dǎo)線半徑

　　{\displaystyle b}b：邊長

　　{\displaystyle d}d：邊寬

　　{\displaystyle b,d\gg a}b,d\gg a

　　一對

　　平行導(dǎo)線{\displaystyle{\frac{\mu _{0}\ell}{\pi}}\left(\ln{\frachpztlfb{a}}+Y/2\right)}{\displaystyle{\frac{\mu _{0}\ell}{\pi}}\left(\ln{\frac9zvb13f{a}}+Y/2\right)}{\displaystyle a}a：導(dǎo)線半徑

　　{\displaystyle d}d：距離

　　{\displaystyle d\geq 2a}d\geq 2a

　　{\displaystyle\ell}\ell：長度

　　一對

　　平行導(dǎo)線

　?。ǜ哳l率）{\displaystyle{\frac{\mu _{0}\ell}{\pi}}\operatorname{arcosh}\left({\fracht99nj5{2a}}\right)={\frac{\mu _{0}\ell}{\pi}}\ln\left({\frachbhp5lz{2a}}+{\sqrt{{\frac{d^{2}}{4a^{2}}}-1}}\right)}{\displaystyle{\frac{\mu _{0}\ell}{\pi}}\operatorname{arcosh}\left({\fracdp5llxp{2a}}\right)={\frac{\mu _{0}\ell}{\pi}}\ln\left({\frac75nj1dt{2a}}+{\sqrt{{\frac{d^{2}}{4a^{2}}}-1}}\right)}{\displaystyle a}a：導(dǎo)線半徑

　　{\displaystyle d}d：距離

　　{\displaystyle d\geq 2a}d\geq 2a

　　{\displaystyle\ell}\ell：長度

　　導(dǎo)線平行

　　于導(dǎo)體墻{\displaystyle{\frac{\mu _{0}\ell}{2\pi}}\left(\ln{\frac{2d}{a}}+Y/2\right)}{\displaystyle{\frac{\mu _{0}\ell}{2\pi}}\left(\ln{\frac{2d}{a}}+Y/2\right)}{\displaystyle a}a：導(dǎo)線半徑

　　{\displaystyle d}d：距離

　　{\displaystyle d\geq a}d\geq a

　　{\displaystyle\ell}\ell：長度

　　導(dǎo)線平行

　　于導(dǎo)體墻

　?。ǜ哳l率）{\displaystyle{\frac{\mu _{0}\ell}{2\pi}}\operatorname{arcosh}\left({\frac3pxpbrz{a}}\right)={\frac{\mu _{0}\ell}{2\pi}}\ln\left({\frac97vrhlf{a}}+{\sqrt{{\frac{d^{2}}{a^{2}}}-1}}\right)}{\displaystyle{\frac{\mu _{0}\ell}{2\pi}}\operatorname{arcosh}\left({\fracnzfhb3t{a}}\right)={\frac{\mu _{0}\ell}{2\pi}}\ln\left({\frac75fptph{a}}+{\sqrt{{\frac{d^{2}}{a^{2}}}-1}}\right)}{\displaystyle a}a：導(dǎo)線半徑

　　{\displaystyle d}d：距離

　　{\displaystyle d\geq a}d\geq a

　　{\displaystyle\ell}\ell：長度

　　對于高頻率案例，由于集膚效應(yīng)，電流均勻地分布于導(dǎo)體表面。依幾何組態(tài)不同，有時(shí)必須分為低頻率和高頻率案例，因此必須增加參數(shù){\displaystyle Y}Y：

　　{\displaystyle Y=1/2}Y=1/2：電流均勻地分布于整個(gè)導(dǎo)體截面。

　　{\displaystyle Y=0}Y=0：集膚效應(yīng)，電流均勻地分布于導(dǎo)體表面。

　　對于高頻率案例，假若導(dǎo)體彼此移向?qū)Ψ?，另外?huì)有屏蔽電流流動(dòng)于導(dǎo)體表面，含有參數(shù){\displaystyle Y}Y的表達(dá)式不成立。

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